Giorno: 4 Novembre 2023

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Teoria dei giochi e John Nash

La teoria dei giochi è un ramo della matematica che studia le interazioni strategiche, cioè situazioni in cui il risultato di una scelta dipende dalle scelte fatte da altri. Nata negli anni ’40 con il lavoro di John Nash, John von Neumann e Oskar Morgenstern, la teoria dei giochi ha trovato applicazioni in moltissime discipline, tra cui l’economia, la scienze politiche, la biologia e l’informatica.

La teoria dei giochi si suddivide in due categorie principali: giochi cooperativi e non cooperativi. Nei giochi cooperativi, i giocatori possono formare coalizioni e fare accordi vincolanti, mentre nei giochi non cooperativi, questo non è possibile.

Un concetto chiave nella teoria dei giochi è l’equilibrio di Nash, un insieme di strategie in cui nessun giocatore ha niente da guadagnare cambiando la propria strategia, a condizione che gli altri giocatori mantengano invariate le loro.

Un esempio famoso di gioco non cooperativo è il “Dilemma del prigioniero”, in cui due prigionieri sono interrogati separatamente e hanno la possibilità di tradirsi a vicenda per ridurre la propria pena. Se entrambi rimangono in silenzio, ricevono una pena leggera, ma se uno tradisce l’altro e l’altro rimane in silenzio, il traditore esce libero mentre l’altro riceve una pena pesante. Se entrambi tradiscono, entrambi ricevono una pena moderata.

L’equilibrio di Nash in questo gioco è che entrambi i prigionieri tradiscono l’altro. Anche se entrambi sarebbero meglio se rimanessero in silenzio, la tentazione di tradire e la paura di essere traditi li spingono a scegliere la soluzione che, in teoria, è peggiore per entrambi.

Un’applicazione della teoria dei giochi e dell’equilibrio di Nash si trova nel campo dell’economia, ad esempio, nella determinazione dei prezzi in un mercato concorrenziale. Se ogni azienda sceglie la sua strategia di prezzo in base a ciò che pensa che gli altri faranno, l’equilibrio di Nash si verifica quando nessuna azienda può migliorare la propria posizione cambiando unilateralmente il proprio prezzo.

La teoria dei giochi può diventare molto complessa quando si considerano giochi con un numero elevato di giocatori, giochi con informazioni incomplete o incerte, e giochi che si svolgono nel tempo, con scelte che influenzano i turni futuri. Nonostante queste complicazioni, la teoria dei giochi fornisce un insieme di strumenti potenti per analizzare e capire le interazioni strategiche.

John Nash è stato un matematico molto famoso. È noto soprattutto per il suo lavoro sulla teoria dei giochi, una parte della matematica che aiuta a capire come le persone o le aziende prendono decisioni. Ha persino vinto un premio Nobel per questo nel 1994!

Nash ha avuto anche una vita molto interessante. Quando era giovane, era conosciuto per la sua intelligenza brillante, ma anche per il suo comportamento strano. Più tardi, è stato diagnosticato con una malattia chiamata schizofrenia, che può far sentire le persone confuse o spaventate perché percepiscono cose che non esistono realmente.

Nonostante le sue sfide, Nash non ha mai smesso di lavorare sulla matematica. Ha continuato a fare scoperte importanti e a insegnare agli studenti, nonostante le difficoltà. La sua vita è stata raccontata nel film “A Beautiful Mind” (in italiano “Un Mente Brillante”), che forse avete visto.

Nash è un esempio di come, nonostante le difficoltà, si possa ancora raggiungere grandi cose. Ci insegna che la matematica può essere uno strumento potente per capire il mondo e che non dovremmo mai lasciare che le sfide ci impediscono di perseguire le nostre passioni.

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Matematica e anamorfismo

L’anamorfismo è un tipo speciale di arte che sembra distorta o strana quando la guardi da un punto di vista, ma se la guardi da un angolo o posizione specifici, l’immagine appare normale o come previsto. È un po’ come quando disegni qualcosa sul marciapiede in modo che sembri 3D quando lo guardi dal giusto angolo.

In matematica, l’anamorfismo è collegato alla geometria, che è la parte della matematica che studia le forme e le loro relazioni nello spazio. Gli anamorfismi utilizzano idee come la prospettiva e la distorsione, che sono concetti chiave nella geometria.

Ad esempio, se disegni una linea retta su un foglio di carta, sembrerà una linea retta da qualsiasi angolazione la guardi. Ma se disegni la stessa linea su un foglio di carta e poi lo pieghi o lo torci, la linea potrebbe sembrare curva o distorta a meno che non la guardi dal giusto angolo. Questo è un esempio semplice di come funziona l’anamorfismo in matematica e arte.

Approfondiamo un po’ di più.

L’anamorfismo è strettamente legato alla prospettiva, un concetto chiave sia in arte che in matematica. In arte, la prospettiva è usata per creare l’illusione di profondità e spazio su una superficie piatta, come un foglio di carta o una tela. Questo si fa disegnando gli oggetti più lontani più piccoli e quelli vicini più grandi. In matematica, la prospettiva è studiata in geometria proiettiva, che esamina come le linee e i punti si trasformano quando si “guarda” da diversi punti di vista.

Oltre alla prospettiva, l’anamorfismo coinvolge anche la distorsione. In arte, la distorsione viene utilizzata per cambiare l’aspetto di un’immagine in modo che sembri diversa da come la percepiamo normalmente. In matematica, la distorsione è un concetto chiave in geometria differenziale, che studia come le forme cambiano quando vengono stirate o schiacciate.

L’anamorfismo può quindi essere visto come un’applicazione di questi concetti matematici all’arte. Creare un’immagine anamorfica richiede una comprensione di come le forme cambiano con la prospettiva e la distorsione, e di come riprodurre questi cambiamenti su una superficie piatta. Questo rende l’anamorfismo un grande esempio di come l’arte e la matematica possono lavorare insieme per creare qualcosa di sorprendente.

L’anamorfismo ha una storia affascinante che si estende per secoli. Uno dei primi esempi di anamorfosi può essere riscontrato nel Rinascimento, quando gli artisti iniziarono a sperimentare con la prospettiva e la distorsione.

Un esempio famoso è “I ambassadeurs” (1533) di Hans Holbein il Giovane, un dipinto che include un oggetto anamorfico: un teschio che può essere visto solo da un particolare angolo obliquo rispetto al dipinto. Questa tecnica veniva utilizzata non solo per stupire il pubblico, ma anche per trasmettere messaggi nascosti o simbolismo.

Sebbene non sia un matematico, Leonardo da Vinci è noto per aver sperimentato con la prospettiva e potrebbe aver utilizzato tecniche anamorfiche in alcuni dei suoi lavori.

Nel campo della matematica, Jean François Niceron è un nome degno di nota. Era un matematico e un prete del XVII secolo che scrisse ampiamente sull’uso dell’anamorfosi in arte. Il suo libro, “La perspective curieuse”, esplora in dettaglio l’uso dell’anamorfosi e della prospettiva.

Oggi, l’anamorfismo è ancora un argomento di studio in diversi campi, dalla matematica all’arte, alla fisica, e persino in informatica, dove l’anamorfismo descrive una certa classe di funzioni o trasformazioni.

L’anamorfismo e il “colpo d’occhio” possono essere strettamente correlati, specialmente nel contesto dell’arte. L’anamorfismo, come abbiamo discusso prima, è una tecnica che distorce un’immagine in modo che possa essere vista correttamente solo da un particolare punto di vista o utilizzando dispositivi speciali. Questa caratteristica rende le opere anamorfiche particolarmente “striking” o “eye-catching”, perché quando il pubblico si rende conto del trucco di prospettiva, l’effetto è spesso sorprendente e memorabile.

Inoltre, le opere anamorfiche richiedono spesso un particolare “colpo d’occhio” da parte del pubblico. Per vedere l’immagine “reale” o intenzionale, il pubblico deve guardare l’opera d’arte dal giusto angolo o posizione. Questo può richiedere un certo grado di intuizione visiva o comprensione della prospettiva.

In questo senso, l’anamorfismo può essere visto come un gioco tra l’artista e il pubblico, in cui l’artista sfida il pubblico a “vedere” oltre l’immagine distorta e scoprire l’immagine reale nascosta. Questo gioco può essere un modo efficace per coinvolgere il pubblico e rendere l’opera d’arte più interattiva e coinvolgente.

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La matematica di Luca Pacioli

Luca Pacioli è stato un importante matematico e frate francescano italiano vissuto nel XV secolo. È noto per essere stato uno dei primi a descrivere il sistema di contabilità a partita doppia, che è la base della contabilità moderna. Questo lo ha reso molto famoso nel mondo degli affari.

Una delle sue opere più famose è “Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita”, un libro che raggruppa tutte le conoscenze matematiche del suo tempo. Inoltre, ha scritto un libro chiamato “De divina proportione”, che esplora le relazioni matematiche e le proporzioni che si trovano nella natura e nell’arte, come la proporzione aurea.

Pacioli era anche amico di Leonardo da Vinci e ha lavoro con lui su vari progetti, portando un contributo matematico alla sua arte.

Oltre al suo lavoro in matematica e contabilità, Pacioli era anche un uomo del Rinascimento, con interessi che andavano oltre i numeri. Ad esempio, ha studiato filosofia e teologia e ha insegnato in varie università in Italia.

Un’altra opera importante di Pacioli è “De Viribus Quantitatis”, un manoscritto che tratta di giochi, trucchi e puzzle matematici. Questo libro è importante perché è uno dei primi a descrivere la matematica in termini di giochi e intrattenimento.

Inoltre, Pacioli ha contribuito alla diffusione della matematica in Europa grazie ai suoi libri, che erano scritti in volgare (l’italiano dell’epoca) anziché in latino, rendendo così le conoscenze matematiche accessibili a un pubblico più ampio.

Infine, è importante sottolineare che, nonostante Pacioli non abbia inventato la contabilità a partita doppia, il suo lavoro ha formalizzato e diffuso il sistema, rendendolo lo standard per la contabilità moderna.

Una curiosità interessante su Luca Pacioli è che, nonostante sia conosciuto principalmente come matematico e frate, era anche un appassionato di scacchi. Nel suo libro “De ludo scachorum” (Il gioco degli scacchi), ha descritto vari problemi di scacchi, rendendo il gioco più popolare nel Rinascimento.

Per quanto riguarda un suo indovinello famoso, uno proviene dal suo manoscritto “De Viribus Quantitatis”. Ecco l’indovinello:

“Tre uomini vanno in un albergo e pagano 30 euro per una stanza. Dopo che se ne sono andati, l’albergatore si rende conto che la stanza costava in realtà solo 25 euro, così dà al cameriere 5 euro e gli dice di restituirli ai tre uomini. Ma il cameriere non sa come dividere 5 euro tra tre persone, quindi decide di dare a ciascuno 1 euro e di tenere per sé i restanti 2 euro. Quindi, ciascuno degli uomini ha pagato 9 euro (perché hanno ricevuto 1 euro di restituzione dal loro pagamento originale di 10 euro), il che fa un totale di 27 euro, e il cameriere ha tenuto 2 euro, facendo un totale di 29 euro. Dove è andato l’altro euro?”

Questo è un classico esempio di un indovinello che gioca con la nostra percezione dei numeri. La soluzione sta nel fatto che stiamo cercando di sommare i numeri nel modo sbagliato. Gli uomini hanno pagato 27 euro (di cui 25 sono andati all’albergo e 2 al cameriere), non c’è nessun euro mancante!

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I solidi platonici

I solidi platonici sono forme geometriche molto speciali. Immagina dei oggetti tridimensionali con facce tutte uguali tra loro. In totale, ci sono solo cinque di queste forme in tutto l’universo! Queste sono: il tetraedro, che ha 4 facce tutte triangolari; il cubo o esaedro, con 6 facce quadrate; l’ottaedro, con 8 facce triangolari; l’icosaedro, con 20 facce triangolari; e il dodecaedro, con 12 facce pentagonali. Questi solidi speciali prendono il nome dal filosofo greco Platone, ed è per questo che li chiamiamo “solidi platonici”.

Ecco alcuni concetti correlati ai solidi platonici:

1. Simmetria: Ogni solido platonico ha la stessa forma da ogni angolazione. Questo significa che se lo guardi da un angolo o lo giri, sembrerà sempre uguale.

2. Vertici, spigoli e facce: Ogni solido platonico ha un numero specifico di vertici (angoli), spigoli (linee) e facce. Ad esempio, un cubo ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce.

3. Poliedri regolari: I solidi platonici sono anche conosciuti come poliedri regolari. Un poliedro è una forma tridimensionale con facce piatte, e “regolare” significa che tutte le sue facce, spigoli e angoli sono uguali.

4. Teoria dei solidi platonici: Questi solidi sono stati studiati per oltre 2000 anni. Platone, il filosofo greco da cui prendono il nome, credeva che questi cinque solidi fossero legati agli elementi fondamentali del mondo: terra (cubo), aria (ottaedro), fuoco (tetraedro), acqua (icosaedro) e l’universo (dodecaedro).

Ci sono molte curiosità riguardo ai solidi platonici. Eccoti alcune di queste:

1. I solidi platonici sono usati nei giochi di ruolo come i dadi. Ad esempio, un dado a 20 facce è un icosaedro.

2. L’architetto del Rinascimento italiano, Brunelleschi, utilizzò la forma del dodecaedro come base per la progettazione della cupola del Duomo di Firenze.

3. Gli antichi greci credevano che l’intero universo fosse modellato come un dodecaedro.

4. In matematica, c’è una relazione speciale tra il numero di facce, vertici e spigoli di un solido platonico, nota come formula di Eulero: il numero di facce più il numero di vertici è uguale al numero di spigoli più due.

5. Leonardo da Vinci ha fatto disegni dettagliati di tutti e cinque i solidi platonici, che si possono vedere nel suo famoso manoscritto “Il Codice Atlantico”.

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Numeri di Mersenne

I numeri di Mersenne sono numeri speciali che vengono scritti come 2 elevato a n, meno 1, dove n è un numero intero. Ad esempio, se prendiamo n come 3, il numero di Mersenne corrispondente sarà 2 elevato a 3 (che è 8), meno 1, che risulta 7. Quindi, 7 è un numero di Mersenne. Questi numeri sono chiamati così in onore del matematico francese Marin Mersenne, che li ha studiati nel XVII secolo.

Un’altra cosa interessante sui numeri di Mersenne è che quando n è un numero primo, il numero di Mersenne corrispondente potrebbe anche essere un numero primo. Questi sono noti come numeri primi di Mersenne. Per esempio, se n è 2, che è un numero primo, allora il numero di Mersenne corrispondente è 2 elevato a 2 (che è 4), meno 1, che risulta 3. Quindi, 3 è un numero primo di Mersenne.

Ma attenzione, non tutti i numeri di Mersenne ottenuti da numeri primi sono numeri primi. Per esempio, se n è 4, che non è un numero primo, allora il numero di Mersenne corrispondente è 2 elevato a 4 (che è 16), meno 1, che risulta 15. E 15 non è un numero primo.

I numeri primi di Mersenne sono molto speciali e non ce ne sono molti. Infatti, fino al 2021, ne sono stati scoperti solo 51. Gli scienziati usano computer potenti per cercare nuovi numeri primi di Mersenne.

Ci sono altre curiosità sui numeri di Mersenne.

1. I numeri di Mersenne sono collegati alla costruzione dei poliedri regolari, ovvero figure geometriche tridimensionali le cui facce, angoli e vertici sono tutti uguali. Ad esempio, il cubo è un tipo di poliedro regolare.

2. I numeri di Mersenne hanno un ruolo importante nella teoria dei numeri, in particolare nella teoria dei numeri primi. Come ho detto prima, non tutti i numeri di Mersenne sono primi, ma i numeri primi di Mersenne sono particolarmente interessanti e utili.

3. Il più grande numero primo conosciuto al momento, scoperto nel 2018, è un numero primo di Mersenne. È 2 elevato a 82.589.933, meno 1. Questo numero ha più di 24 milioni di cifre!

4. Un altro fatto curioso è che esistono numeri perfetti pari che sono strettamente correlati ai numeri primi di Mersenne. Un numero perfetto è un numero che è uguale alla somma dei suoi divisori propri, escluso se stesso. Per esempio, 6 è un numero perfetto perché i suoi divisori propri sono 1, 2 e 3, e 1+2+3=6. Ogni numero perfetto pari può essere espresso come 2^(n-1)*(2^n – 1) dove 2^n – 1 è un numero primo di Mersenne.

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Eulero e la formula dei numeri primi

L’equazione di secondo grado di Eulero è una formula che genera una sequenza di numeri, alcuni dei quali sono primi. I numeri primi sono numeri naturali maggiori di 1 che hanno solo due divisori distinti: 1 e se stessi. L’equazione di secondo grado di Eulero è la seguente:

n^2 + n + 41

Questa equazione genera numeri primi per n da 0 a 39. Tuttavia, non tutti i numeri generati da questa equazione sono primi e la sequenza non genera tutti i numeri primi. Eulero ha scoperto questa formula nel XVIII secolo, ma non esiste una formula generale per generare tutti i numeri primi.

La formula di cui abbiamo parlato, n^2 + n + 41, è conosciuta come “Formula di Eulero” ed è un esempio di una “formula primale”, una formula che produce un numero spropositato di numeri primi rispetto a formule simili. È notevole per il fatto che, per ogni intero n da 0 a 39, l’output è un numero primo. Questo è davvero notevole perché non esistono formule semplici per generare numeri primi.

Ma nonostante questa proprietà interessante, la formula non è “perfetta”. Per n = 40, l’output è 40^2 + 40 + 41 = 1681, che è 41*41, un quadrato perfetto e quindi non un numero primo. E per valori di n superiori a 40, la formula non genera solo numeri primi.

Infine, è importante sottolineare che, sebbene questa formula sia affascinante e prodotta da un matematico molto famoso e rispettato, come Eulero, non ci avvicina a una soluzione per generare tutti i numeri primi o per prevedere dove si troveranno i numeri primi sulla linea numerica. I numeri primi sono famosi per la loro “randomicità” apparente, e nonostante i secoli di studio, gli scienziati e i matematici non hanno ancora trovato un modello o una formula che preveda in modo affidabile i numeri primi.

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Matematica e scarpe

Chiedi a qualcuno di partecipare a un gioco matematico in cui, grazie a semplici operazioni, sarai in grado di indovinare il suo numero di scarpe e la sua età. Ecco come funziona:

1. Chiedi alla persona di scrivere il suo numero di scarpa, senza considerare le mezze misure (ad esempio, se è 38.5, arrotonda a 38).
2. Dì loro di moltiplicare il numero di scarpe per 100 (quindi, se il numero di scarpe è 38, il risultato sarà 3800).
3. Ora, devono sottrarre dal risultato l’anno della loro nascita (ad esempio, se sono nati nel 1965, faranno 3800 – 1965, ottenendo 1835).
4. Chiedi alla persona di dirti ad alta voce il risultato finale (nel nostro esempio, 1835).

Dopo aver ricevuto il risultato, aggiungi l’anno corrente 2023. Otterrai un numero di quattro cifre. Le prime due cifre rappresentano il numero di scarpe e le ultime due cifre rappresentano l’età della persona.

Per esempio, se aggiungiamo l’anno corrente (2023) al risultato del nostro esempio (1835), otteniamo 3858. Quindi, la persona indossa scarpe di numero 38 e ha 58 anni. Ecco come si risolve il gioco del numero di scarpe e dell’età con l’anno corrente!

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I ponti di Eulero

I ponti di Eulero si riferiscono a un concetto nel campo della matematica chiamato teoria dei grafi. Un grafo è un insieme di punti (chiamati vertici) collegati da linee (chiamate archi).

Immagina che i vertici siano delle isole e gli archi siano i ponti che collegano queste isole. Un “ponte di Eulero” è un percorso che attraversa ogni ponte una sola volta. Se esiste un percorso che ti consente di attraversare ogni ponte una sola volta e tornare al punto di partenza, allora è chiamato un “ciclo Euleriano”.

Leonhard Euler, un famoso matematico, ha scoperto che un grafo ha un ciclo Euleriano solo se ogni isola (vertice) ha un numero pari di ponti (archi). Se esistono esattamente due vertici con un numero dispari di archi, allora esiste un percorso di Eulero, ma non un ciclo.

Quindi, quando stai cercando di disegnare senza sollevare la penna e senza passare due volte sulla stessa linea, stai in realtà cercando un ciclo Euleriano!

Ora, hai mai sentito parlare del problema dei sette ponti di Königsberg? E’ un famoso problema che ha portato alla scoperta dei ponti di Eulero. La città di Königsberg in Germania aveva sette ponti che collegavano due isole al resto della città. La domanda era: “È possibile attraversare la città passando una sola volta per ciascuno dei sette ponti senza ripercorrere alcun ponte?”

Euler ha risolto il problema dimostrando che non era possibile. Ha notato che a parte l’inizio e la fine del percorso, ogni volta che entri in un’isola (o punto, o vertice nel nostro grafo), devi essere in grado di uscire. Quindi, per ogni isola, il numero di ponti deve essere pari, perché per ogni ponte che entri, c’è un ponte da cui esci. Se ci sono isole con un numero dispari di ponti, devono essere l’inizio o la fine del percorso.

Questo è l’essenza dei ponti di Eulero: ci aiutano a capire quando possiamo e non possiamo attraversare ogni ponte (o arco) una sola volta. E’ un concetto molto utile in molte aree, non solo in matematica, ma anche in informatica, logistica, e persino in giochi di puzzle!

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Il caos e la matematica

La teoria del caos è un campo della matematica che studia i comportamenti complessi e imprevedibili nei sistemi dinamici. Questi sistemi possono cambiare drasticamente anche a seguito di piccole variazioni nelle condizioni iniziali, un fenomeno noto come “effetto farfalla”.

Per esempio, considera una partita a biliardo. Se lanci la palla bianca con un angolo o una forza leggermente diversa, il risultato della partita potrebbe cambiare drasticamente. Questo è un esempio semplice di un sistema caotico.

La teoria del caos è applicata in molti campi come la fisica, l’ingegneria, l’economia, la biologia, e la meteorologia. Ad esempio, in meteorologia, piccole variazioni nelle condizioni atmosferiche possono portare a previsioni del tempo molto diverse, il che rende molto difficile fare previsioni accurate a lungo termine.

Ecco alcuni concetti supplementari sulla teoria del caos:

1. **Attrattori strani:** Sono comportamenti di lungo termine di un sistema dinamico. In un sistema caotico, un attrattore strano può rappresentare comportamenti complessi e imprevedibili. Per esempio, il famoso “attrattore di Lorenz” è una rappresentazione geometrica di un sistema meteorologico semplificato.

2. **Frattali:** I frattali sono figure geometriche che si ripetono all’infinito su scale diverse. Sono strettamente legate alla teoria del caos perché i sistemi caotici spesso producono frattali. Il bordo di un attrattore strano è spesso un frattale.

3. **Sensibilità alle condizioni iniziali:** Questo concetto è alla base dell'”effetto farfalla”. Anche le più piccole variazioni nelle condizioni di partenza di un sistema possono portare a enormi differenze nel suo comportamento futuro. Questo rende la predizione a lungo termine molto difficile nei sistemi caotici.

4. **Non linearità:** Molti sistemi caotici sono non lineari, il che significa che l’effetto di una variabile sul sistema non è necessariamente proporzionale alla sua causa. Questa non linearità può portare a comportamenti complessi e imprevedibili.

La teoria del caos, mentre illustra i limiti delle previsioni a lungo termine, aiuta anche a comprendere meglio i comportamenti complessi e non lineari in natura e nella società.

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