Evariste Galois

Évariste Galois era un ragazzo davvero intelligente nato in Francia nel 1811. Era così bravo con i numeri e le forme che era come un supereroe della matematica. Quando aveva solo 15 anni, iniziò a risolvere problemi matematici davvero complessi che nessuno aveva mai risolto prima!

Évariste Galois non ha scritto molte “opere” nel senso tradizionale, poiché morì molto giovane e gran parte del suo lavoro è stato riconosciuto solo postumo. Tuttavia, ha lasciato dietro di sé manoscritti e lettere che contengono le sue idee rivoluzionarie sulla matematica. Questi includono:

1. “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” – Questo è uno dei suoi lavori più famosi, in cui introduce la Teoria di Galois. In questo lavoro, dimostra che un’equazione generale di grado n può essere risolta per radici se e solo se il suo gruppo di Galois è un gruppo risolubile.

2. “Lettre de Galois à Chevalier” – Questa è una lettera che Galois scrisse la notte prima del suo fatale duello, in cui riassume le sue scoperte. È spesso chiamata “l’ultima lettera di Galois” ed è considerata uno dei documenti più famosi nella storia della matematica.

3. “Manoscritti di Galois” – Dopo la sua morte, furono trovati molti manoscritti inediti di Galois. Questi manoscritti contengono molte delle sue idee sulla teoria dei numeri, sulla teoria dei gruppi e sulla teoria delle equazioni.

Tutto il suo lavoro ha avuto un impatto enorme sul campo della matematica, e la Teoria di Galois è ancora oggi un campo di studio attivo.

Ma la vita di Galois non era solo matematica. Era un ragazzo molto appassionato e coraggioso. Credeva fermamente nella libertà e nell’uguaglianza per tutti, e non aveva paura di lottare per ciò che riteneva giusto. Purtroppo, la sua vita fu molto breve. Morì a soli 20 anni in un duello.

Anche se visse poco tempo, Galois fece molto per la matematica. E il suo lavoro è ancora usato e studiato oggi da matematici in tutto il mondo.

Il numero 1729

Il numero 1729 è noto come il “numero di taxi” di Ramanujan. Ha questo nome a causa di un aneddoto famoso riguardante il matematico indiano Srinivasa Ramanujan. Quando Ramanujan era malato nel letto, il suo collega matematico britannico G.H. Hardy gli fece visita e commentò che il numero del taxi che aveva preso, 1729, sembrava piuttosto noioso. Ramanujan rispose che al contrario, 1729 era un numero molto interessante, in quanto è il più piccolo numero che può essere espresso come la somma di due cubi in due modi differenti: 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3.

La costante di Kaprekar

La costante di Kaprekar è un numero specifico in aritmetica, 6174, che ha una proprietà interessante. Se prendi qualsiasi numero a quattro cifre che abbia almeno due cifre diverse, lo riordini in ordine decrescente e sottrai il numero ottenuto riordinandolo in ordine crescente, ripetendo il processo, arriverai sempre alla costante di Kaprekar, 6174, in al massimo 7 iterazioni. Questo procedimento è noto anche come “operazione di Kaprekar”.

Approfondiamo l’operazione di Kaprekar con un esempio. Prendiamo un numero a quattro cifre con almeno due cifre diverse, per esempio 3524.

1. Riordiniamo le cifre in ordine decrescente e in ordine crescente per ottenere due nuovi numeri: 5432 e 2345.
2. Sottraiamo il numero minore dal numero maggiore: 5432 – 2345 = 3087.
3. Ripetiamo il processo con il nuovo numero: 8730 – 0378 = 8352.
4. Continuiamo a ripetere il processo: 8532 – 2358 = 6174.
5. Ora, se ripetiamo l’operazione con 6174, non otteniamo un nuovo numero: 7641 – 1467 = 6174.

Quindi, qualsiasi numero a quattro cifre con almeno due cifre diverse, passando attraverso questa operazione, diventerà 6174 in un massimo di 7 iterazioni. Questo è ciò che rende 6174 la “costante di Kaprekar”.

Il calcolo mentale

Un trucco matematico mentale molto utile è il metodo per moltiplicare qualsiasi numero per 11. Ecco come funziona:

Prendi un numero a due cifre, come 52.

1. Separa le due cifre. In questo caso, avrai 5 e 2.
2. Somma le due cifre. In questo caso, 5 + 2 = 7.
3. Inserisci la somma tra le due cifre originali. Ora hai 572.

Quindi, 52 * 11 = 572.

Nota: se la somma delle due cifre è un numero a due cifre, dovrai portare il numero più a sinistra. Ad esempio, per 99 * 11, sommi 9 + 9 per ottenere 18. Metti l’8 in mezzo e aggiungi 1 al 9 di sinistra, ottenendo 1089. Quindi 99 * 11 = 1089.

Un altro trucco matematico mentale riguarda la moltiplicazione di qualsiasi numero per 5. Ecco come funziona:

1. Moltiplica il numero per 10. Per farlo, aggiungi semplicemente uno zero alla fine del numero.
2. Dividi il risultato per 2.

Ad esempio, supponiamo che tu debba moltiplicare 24 per 5:

1. Moltiplica 24 per 10, ottenendo 240.
2. Dividi 240 per 2, ottenendo 120.

Quindi, 24 * 5 = 120. Questo trucco funziona con qualsiasi numero e può velocizzare notevolmente i tuoi calcoli mentali.

Un altro trucco matematico mentale è l’addizione o la sottrazione di numeri vicini a multipli di 10. Ecco come funziona:

Se devi sommare o sottrarre un numero che è vicino a un multiplo di 10, può essere più facile arrotondare quel numero al multiplo di 10 più vicino e poi correggere l’arrotondamento.

Ad esempio, supponiamo che tu debba sommare 78 e 97:

1. Arrotonda 97 a 100 e sommalo a 78, ottenendo 178.
2. Poiché hai aggiunto 3 in più (perché 100 è 3 più grande di 97), sottrai 3 da 178, ottenendo 175.

Quindi, 78 + 97 = 175. Questo trucco può rendere più facile l’addizione o la sottrazione di numeri nelle tue testa.

Un altro trucco matematico mentale riguarda l’addizione o sottrazione di frazioni. Ecco come funziona:

Quando devi sommare o sottrarre frazioni con lo stesso denominatore, puoi semplicemente sommare o sottrarre i numeratori e mantenere lo stesso denominatore.

Ad esempio, se devi sommare 3/7 + 2/7, sommi i numeratori (3 + 2) per ottenere 5 e mantieni lo stesso denominatore (7), ottenendo 5/7.

Quindi, 3/7 + 2/7 = 5/7.

Se devi sottrarre 5/7 – 2/7, sottrai i numeratori (5 – 2) per ottenere 3 e mantieni lo stesso denominatore (7), ottenendo 3/7.

Quindi, 5/7 – 2/7 = 3/7. Questo trucco semplifica notevolmente l’addizione e la sottrazione di frazioni.

Il problema del treno

Immagina due treni che partono da due città diverse allo stesso momento. Il primo treno viaggia a una certa velocità, diciamo 100 km/h, e il secondo treno viaggia a una velocità diversa, diciamo 150 km/h. Se le due città sono distanti 500 km, il problema potrebbe chiedere: “Quando e dove si incontreranno i due treni?”

Per risolverlo, devi ricordare che la distanza percorsa è uguale alla velocità moltiplicata per il tempo. Quindi, se entrambi i treni stanno viaggiando verso l’altro, insieme stanno coprendo 250 km ogni ora (100 km/h + 150 km/h). Quindi, per coprire la distanza di 500 km, ci vorranno 2 ore (500 km / 250 km/h). Quindi, i treni si incontreranno in 2 ore. E la distanza a cui si incontrano sarà la distanza che ciascun treno ha percorso in quel tempo. Quindi, il Treno A avrà percorso 200 km (perché 100 km/h moltiplicato per 2 ore fa 200 km) e il Treno B avrà percorso 300 km (perché 150 km/h moltiplicato per 2 ore fa 300 km).

Il paradosso del compleanno

Il paradosso del compleanno riguarda la probabilità che, in un gruppo di persone a caso, almeno due persone condividano la stessa data di nascita.

Alla prima occhiata, si potrebbe pensare che serva un gruppo molto grande affinché ciò accada. Dopotutto, ci sono 365 giorni in un anno, giusto? Ma in realtà, secondo la matematica, hai solo bisogno di 23 persone in un gruppo per avere una probabilità del 50% che almeno due persone condividano lo stesso compleanno.

Ecco perché: invece di pensare a quanti giorni ci sono in un anno, pensa a quante possibili coppie di persone ci sono in un gruppo. In un gruppo di 23 persone, ci sono 253 possibili coppie. Ogni coppia ha una possibilità di 1 su 365 di condividere un compleanno. Quando si sommano tutte queste probabilità, si supera il 50%.

Questo è controintuitivo e per questo è chiamato un “paradosso”, ma è un esempio di come la matematica delle probabilità può essere sorprendente.

Asintoti

Gli asintoti di una funzione sono linee immaginarie a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarle. Ci sono tre tipi principali di asintoti: gli asintoti verticali, gli asintoti orizzontali e gli asintoti obliqui.

Gli asintoti verticali si verificano quando il valore della funzione si avvicina all’infinito o meno all’infinito per un certo valore di x. Possono essere determinati dalla presenza di fattori comuni al denominatore della funzione, che si annullano e provocano una divisione per zero.

Andiamo un po’ più a fondo.

Un asintoto verticale si verifica quando il valore di una funzione si avvicina all’infinito (o meno infinito) per un certo valore di x. Questo si esprime matematicamente come un limite.

Per esempio, considera la funzione f(x) = 1/(x – a). Quando x si avvicina a “a”, il valore della funzione diventa molto grande (se x è leggermente maggiore di a) o molto piccolo (se x è leggermente minore di a). In altre parole, f(x) tende all’infinito o a meno infinito.

In termini di limiti, ciò si scrive come:

lim (x -> a+) f(x) = ∞ (qui x si avvicina a “a” da valori leggermente maggiori di “a”)

e

lim (x -> a-) f(x) = -∞ (qui x si avvicina a “a” da valori leggermente minori di “a”)

In entrambi i casi, a è l’asintoto verticale della funzione. Sul grafico, vedresti la curva della funzione che si avvicina sempre più a una linea verticale in corrispondenza di x=a, ma senza mai toccarla.

Gli asintoti orizzontali si verificano quando il valore della funzione si avvicina a un certo valore costante mentre x tende all’infinito o meno l’infinito. Questo può accadere quando il grado del numeratore è minore o uguale al grado del denominatore della funzione.

Gli asintoti orizzontali sono linee orizzontali che il grafico di una funzione si avvicina sempre più, senza mai toccarle, quando x tende all’infinito o a meno infinito.

Per trovare gli asintoti orizzontali di una funzione, calcoliamo i limiti della funzione quando x tende a più infinito e a meno infinito. Se questi limiti sono numeri reali finiti, allora saranno l’ordinata degli asintoti orizzontali.

In termini di limiti, possiamo scrivere:

1. Se lim (x -> ∞) f(x) = L (dove L è un numero reale), allora y = L è un asintoto orizzontale.

2. Se lim (x -> -∞) f(x) = M (dove M è un numero reale), allora y = M è un asintoto orizzontale.

Per esempio, considera la funzione f(x) = 2x/(x + 1). Quando x diventa molto grande (sia in positivo che in negativo), la funzione si avvicina a 2, quindi y = 2 è un asintoto orizzontale.

In termini di limiti, possiamo scrivere:

lim (x -> ∞) f(x) = 2

e

lim (x -> -∞) f(x) = 2

Quindi, y = 2 è l’asintoto orizzontale.

Gli asintoti obliqui si verificano quando il valore della funzione si avvicina a una retta inclinata mentre x tende all’infinito o meno l’infinito. Questo si verifica quando il grado del numeratore è esattamente uno maggiore del grado del denominatore.
Per calcolare l’equazione di un asintoto obliquo di una funzione, avrai bisogno dei limiti della funzione per x che tende ad infinito e per x che tende a meno infinito.

Per l’asintoto obliquo y = mx + q devi trovare due parametri: m (il coefficiente angolare) e q (l’intercetta).

1. Il coefficiente angolare m si calcola come il limite della funzione diviso x quando x tende all’infinito. In simboli, m = lim (f(x)/x) per x -> ±∞.

2. L’intercetta q si calcola come il limite della differenza tra la funzione e mx quando x tende all’infinito. In simboli, q = lim (f(x) – mx) per x -> ±∞.

Ricorda che questi limiti devono esistere e devono essere finiti. Inoltre, m non deve essere né 0 né infinito. In caso contrario, la funzione non ha un asintoto obliquo.

È importante notare che gli asintoti non sono necessariamente presenti in ogni funzione, dipende dalla loro forma e dal comportamento della funzione.

Radicali

I radicali in matematica sono usati per indicare le radici di un numero. Il simbolo del radicale è √.

Il radicale più comune è il radicale quadrato. Il radicale quadrato di un numero è quel valore che, moltiplicato per se stesso, dà il numero sotto il radicale. Ad esempio, il radicale quadrato di 9 è 3 perché 3 * 3 = 9.

Esistono anche radicali di ordine superiore come il radicale cubico, il radicale quarto, e così via. Il radicale cubico di un numero è quel valore che, moltiplicato per se stesso due volte (cioè elevato alla terza), dà il numero sotto il radicale. Ad esempio, il radicale cubico di 8 è 2 perché 2 * 2 * 2 = 8.

I radicali possono essere anche frazionari. Ad esempio, il radicale quadrato di 1/4 è 1/2 perché (1/2) * (1/2) = 1/4.

Inoltre, l’operazione inversa del radicale è l’elevamento a potenza. Quindi, se √(n) = m, allora m * m = n. Se ∛(n) = m, allora m * m * m = n, e così via.

Ricorda che non tutti i numeri hanno una radice quadrata reale. Ad esempio, i numeri negativi non hanno radice quadrata nel campo dei numeri reali. Questo è perché non esiste un numero reale che moltiplicato per se stesso dà un numero negativo.

In matematica, è possibile eseguire varie operazioni con i radicali, come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Tuttavia, queste operazioni possono essere eseguite solo se i radicali sono dello stesso tipo (cioè hanno lo stesso indice) e hanno lo stesso radicando (il numero o l’espressione sotto il simbolo radicale).

1. Addizione e sottrazione: Per sommare o sottrarre radicali, i radicali devono avere lo stesso indice e lo stesso radicando. Ad esempio, √2 + √2 = 2√2. Non possiamo sommare √2 + √3.

2. Moltiplicazione: Per moltiplicare due radicali dello stesso indice, moltiplichi i radicandi e metti il prodotto sotto un radicale con lo stesso indice. Ad esempio, √3 * √2 = √6.

3. Divisione: Per dividere due radicali dello stesso indice, dividi i radicandi e metti il quoziente sotto un radicale con lo stesso indice. Ad esempio, √8 / √2 = √4 = 2.

4. Potenze di radicali: Per elevare un radicale a una potenza, eleva il radicando a quella potenza. Ad esempio, (√2)^2 = 2.

Ricorda, le regole di semplificazione dei radicali sono molto importanti quando si lavora con le espressioni radicali. Ad esempio, √8 può essere semplificato a 2√2, poiché 8 = 4 * 2 e √4 = 2.

La razionalizzazione dei radicali è un processo che si usa per eliminare i radicali dal denominatore di una frazione. Questa operazione è solitamente richiesta perché in matematica si preferisce non avere radicali nel denominatore.

Ecco come funziona:

1. Razionalizzazione di un radicale semplice. Se hai una frazione del tipo 1/√a, per razionalizzare il denominatore moltiplica sia il numeratore che il denominatore per √a. Ottieni quindi √a/√(a * a) = √a/a.

2. Razionalizzazione di una somma o differenza di radicali. Se hai una frazione del tipo 1/(a + √b) o 1/(a – √b), moltiplica sia il numeratore che il denominatore per il coniugato del denominatore. Il coniugato di a + √b è a – √b, e viceversa. Per esempio, se hai 1/(a + √b), moltiplica per (a – √b)/(a – √b). Il denominatore diventerà a² – b, che è un numero razionale.

Ricorda, la razionalizzazione non cambia il valore della frazione, solo la sua forma.

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